Updated at 2021.4.14 Updated at 2019.05.05 Updated at 2015.01.18

Calculation of PI

무한 소수인 원주율(\(\pi = 3.14\cdots\))의 근사값을 컴퓨터를 이용하여 구할 수 있다. 난수를 반복적으로 발생시켜 계산하는 몬테카를로 시뮬레이션(Monte-Carlo Simulation)의 가장 쉬운 예이기도 하다.

파이란?

수학에서 가장 많이 사용되는 기호들 중 하나는 파이 (\(\pi = 3.141592\cdots\)) 라는 무한소수이다. 원주율을 뜻하는 이 값은 지름이 1인 원의 원주 길이이다.

고대에도 이 값이 대략 3이라는 것이 알려져 있었으나, 그 값을 정확히 계산한 것은 아르키메데스 였다. 그는 원의 안쪽과 바깥쪽에 접하는 두 정다각형을 이용해서 원주율을 근사하였다. 즉 정구십각형을 그려서 그 값이 3.14라는 것을 알아냈다.

참고로 반지름이 \(r\) 인 원의 넓이는 어떻게 구할까?

원을 \(2N\) 등분하여 교대로 옆으로 늘어서면 가로가 \(\pi r\) 이고 높이가 \(r\) 인 직사각형과 유사하게 되고, \(N\) 을 무한대로 보내면 그 넓이는 \(\pi r \times r = \pi r^2\) 이 된다.

더 자세한 것은 위키피디아를 참고하세요.

파이 값 구하기

정다각형을 그려서 해보지 않고 컴퓨터를 이용해서 \(\pi\) 값을 구할 수 있지 않을까? 여러가지 방법이 있지만, 간단한 방법을 소개한다.

• 0과 1 사이의 실수 두 개를 랜덤하게 N개씩 뽑아서 \((x, y)\) 로 짝지으면 xy평면상에 N개의 점을 찍을 수 있다.
• 이 \(N\) 개의 점 중에서 \(x^2+y^2<1\) 인 점의 개수가 \(M\) 개라고 하면, \(M/N\) 은 한 변의 길이가 1인 정사각과 반지름이 1인 4분원의 면적비인 \(\frac{\pi}{4}\) 에 가까워 져야 한다.
• \(N\) 을 무수히 많이 하면, \(\pi \approx 4M/N\) 로 구할 수 있다.

이러한 방법론을 몬테카를로(Monte Carlo) 시뮬레이션이라고 한다.

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